Cosinus et sinus d'un nombre réel

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\text{(O,I,J)}\) . 

Définition  

Soit `x`  un nombre réel et soit  `\text{M}` le point image de  `x` par enroulement de la droite `(d)` tangente au cercle trigonométrique au point \(\text I\) sur le cercle trigonométrique.

• On appelle cosinus de  `x` , noté \(\cos⁡(x)\) , l’abscisse du point  `\text{M}` .
  
• On appelle sinus de  `x` ,   noté   \(\sin(x)\) , l’ordonnée du point  `\text{M}` .
  
• Le point   `\text{M}`  a pour coordonnées  \(\text{M}(\cos(x);\sin(x))\) .
  

Exemples

• L'image du réel  \(0\) est le point \(\text{I}(1 ; 0)\) , donc  \(\cos(0)=1\)  et  \(\sin(0)=0\) .
  
• L'image du réel  \(\pi\) est le point \(\text{I'}(-1 ; 0)\) , donc  \(\cos(\pi)=-1\)  et  \(\sin(\pi)=0\) . 
  
• L'image du réel  \(\dfrac{\pi}{2}\)  est le point \(\text{J}(0 ;1)\) , donc  \(\cos(\dfrac{\pi}{2})=0\)  et  \(\sin(\dfrac{\pi}{2})=1\) .
• L'image du réel  \(-\dfrac{\pi}{2}\) est le point \(\text{J'}(0 ;-1)\) , donc  \(\cos(-\dfrac{\pi}{2})=0\)  et  \(\sin(-\dfrac{\pi}{2})=-1\) . 
  

Propriétés  

Pour tout réel  \(x\) :

• \(-1\leqslant\cos(x)\leqslant1\)  et  \(-1\leqslant\sin(x)\leqslant1\) .
• \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\) .

Démonstration  

Soit `x`  un nombre réel et soit  `\text{M}` le point image de  `x` sur le cercle trigonométrique.

• Le cercle trigonométrique est le lieu des points du plan à distance \(1\) de \(\text O\) . Si \(\text M(x_\text M;y_\text M)\) est un point du cercle, on a  \(\text {OM}=1\) soit  \(\sqrt{x_\text M^2+y_\text M^2}=1\) . Cela équivaut à  \(x_\text M^2+y_\text M^2=1\) et  \(x_\text M^2=1-y_\text M^2\leqslant 1\) . On en déduit  \(-1\leqslant x_\text M \leqslant 1\) puis      \(-1\leqslant y_\text M \leqslant 1\) . Par définition,  \(\cos(x)\)  correspond à l'abscisse du point  \(\text M\) et \(\sin(x)\) correspond à l'ordonné de  \(\text M\) . Cela permet de conclure.
  
• \(\text M(\cos(x);\sin(x))\) étant un point du cercle trigonométrique, la condition \(\text {OM}=1\) donne immédiatement   \(\sqrt{\cos^2(x)+\sin^2(x)}=1\) d'où le résultat.
  

Exemple

Sachant que  \(x\in[0;\dfrac{\pi}{2}]\)  et que  \(\cos(x)=0,4\) , on peut déterminer  \(\sin(x)\) . En effet, comme  \(​ ​\)   \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\) , on a    \((0,4)^2+\sin^2(x)=1\)  soit  \(\sin^2(x)=1-0,16=0,84\) . 
Or  \(x\in[0;\dfrac{\pi}{2}]\)  donc  \(\sin(x)>0\) . On en déduit que  \(\sin(x)=\sqrt{0,84}\approx0,94\) .